Некоторые наблюдения из математики

[AlexandrK]

Некоторые факты из класической математики с точки зрения многополярности.

1. Если F(s) - преобразование фурье сигнала s(t), то выполняется F(F(F(F(s)))) = s. Тоесть F⁴ = Eдиница. F можно интерпретировать как поляризацию временного сигнала. Она дает переход в частотную область. Полярность F² меняет направление времени F(F(s(t))) = s(-t). Возникает желание найти преобразование временого сигнала G такое что G³ = Единица и посмотреть что такое G(s) для слуха.

2. Если взять функции над комплексными числами
   I - инверсия относительно единичной окружности,
   O - обратное комплексное число
   S - сопряженное комплексное число
рассмотреть их композицию как взаимодействие, то получим законы O²=I²=S²=O*I*S = Единица.

[В.Ленский]

В приведённом случае заложен смысл. Функция S(t), состоит из гармоник Сi(t).  Ряд Фурье здесь опирается на формулу Эйлера, где гармоники согласуются с функциями cos x, а так же sin x.
Случае перевода рядва Фурье (степенного ряда) рассмотрен мной, где есть два варианта:
1. когда степенной ряд имеет не сумму двух рядов (базис формулы Эйлера), а трёх и т.д. Однако такой тригонометрии пока не существует. Четырёхполярность (функция комплексной переменной) вписалась потому, что её можно (по договорённости) разбить на две двухполярных. Так и сделали- взяли одну ось "действительной", а другую - "мнимой". Поэтому степенной ряд, который может иметь и "круговую" форму, можно дискретно разрубить на два куска. Эти два куска и есть два перпендикуляра осей "мнримоцй" и "действительной".
Теперь разрубите ряд на три параллельных перпендикуляра. Это - энергетическое пространство и пространство качеств (полярностей). Будет три тригонометрических функции. Формула "Эйлера" тогда запишется из суммы трёх кусков, то есть трёх тригонометрических функций.
Теперь о новой тригонометрии. "Зри в корень", говорит Козьма Прутков. Синусы и прочее это ОТНОШЕНИЯ ДВУХ. Догадались? Значит вторым вариантом будет новая тригонометрия с отношением ТРЁХ.
Итак тригонометрию с отношением ДВУХ можно представить суперпозиционными пространствами пространствами, где А*А = В*В = С*С = .... = 1. Кстати, я удивлён, что математики не догадались степенной ряд разложить (по аналогии с Эйлером) в восьмиполярном пространстве. Там тоже будут наглядные (привычные из геометрии Евклида) синусы и косинусы. Добавится ещё две "мнимых" оси, но синусы и косинусы останутся как отношение двух. Тогда степенной ряд расщепляется на четыре куска и формула "Эйлера" будет выглядеть как  сумма с двумя синусами и двумя косинусами. Задача простенькая. Попробуйте, взяв за аналогию вывод формулы Эйлера.
Однако с позиций функционального анализа это будет "кое-что". Теперь А*А*А*А = -1, но А*А*А*А*А*А*А*А = +1. Выразите это функционально. Приложите к электронике, так как проекции функций образуют сложную гармонику. Напишите новое "уравнение Шрёдингера". Опишите функционально поведение "элементарных частиц"   и .... подавайте на премию нобелевскую.
Успехов.

[AlexandrK]

Скалярное произведение Двух (a,b) = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃ возможно заменить на скалярное произведение Трех (a,b,c) = a₁ * b₁ * c₁ + a₂ * b₂ * c₂ + a₃ * b₃ * c₃. Тогда (a,b,c) =  0 условие отогональности трех векторов. Потом если взять пирамидку (из каждого угла по три ребра) и попробовать выявить соотношения для трехмерной тригонометрии.

[В.Ленский]

Не хочется терять время на несуразицы и придурь предшествующих и современных математиков, но.... приходится (по доброму отношению к тем, кто желает постичь многополярность).
Что такое "скалярное произведение векторов"? Само понятие вектора исходит от реалии направления, например, сил. Если две силы имеют разное направление, то они сложатся своими проекциями.  Вот почему вступает в свою роль косинус угла между векторами (показатель "искажения" исходной величины при проектировании). А для чего умножать проекции? Если вы берёте один вектор и перемножите его проекции, то получите, непонятно для кого и отчего, площадь. Ну, а если вы сложите его проекции? Понятен абсурд? Поэтому, чтобы узнать величину результата  сил, нужно сложить их проекции на ось направления. А если нужно узнать величину (количество), то, согласно теореме Пифагора, придётся возводить в квадрат катеты и извлекать квадратный корень.
Так, как придумали математики, можно сочинить и сложение башмаков и их умножение, а затем отнимать время у студентов (и бессовестно кушать самим на том).
Возьмите теперь два или иное число векторов. От каждого из них будет проекция с координатой. Если вы проекции сложите (на одно направление), то это будут координаты одного вида (например Х или У). Теперь подумайте для каких целей и в каком приложении вы будете их УМНОЖАТЬ (подумайте над сущностью "умножения" и его прикладного назначения)?
Более того, после того как вы умножите проекции, подумайте над смыслом сложения "перемноженных" проекций по разным осям.
Не будем позорить математиков (прошлых и современных) лучше про их выдумки (выполненные от жирной жизни и дармовом хлебе) забыть.
А студенты, надеюсь, простят им украденное время молодости.
Многополярность требует практического назначения, если даже из неё вытекают чудеса в виде искривления пространства - его нужно иметь в реальности.

Кстати, о декартовых координатах и проекциях. Декарт тоже, ни елики не сумяшися, придумал оси с нулём посредине. А что такое ноль? Правильно - единица в пространстве сложения. Ну поставил Декарт единицу (0) посредине между двумя полярностями, а у вас голова зачем? Как можно было догадаться о слабости такой выдумки (декартовых координат)? По комплексным числам и функции комплексной переменной! Взятие  производной от тригонометрической функции (от отношения) показывает на поворот оси. Но тогда, как могла повернуться ось в четырёхполярности (комплексной переменной)? Догадались?
Если не догадались, то смотрите на формулу Эйлера. При её выводе  "крутится" уже не тригонометрическое отношение, а ПОЛЯРНОСТЬ.
Теперь вам станет понятным, что оси это не числа, а полярные состояния. Поэтому +5 - 5 = +2 - 2 = + а - а = 0. Числа разные, а суть одна.
Итак, взятие производной от отношения есть поворот оси (смена полярности).
Вот теперь можете думать о сути производных, отношений и геометрическом отображении.
Будет не только полезным (хоть и наносит удар по "трудам" математиков), но и практически применимым (например, при работе с волнами и полями, а так же с "элементарными частицами", лазерами и неведомыми теперь физикам энергиями).

[AlexandrK]

Рассуждаю так:

Текущая тригонометрия использует три стороны треугольника a, b, c и две полярности для степени (+1) и (-1). Перебираем все возможные двойные комбинации a*b^(-1), a*c^(-1), c*b^(-1) и так далее. Это и будут все наши sin, cos, tg, ctg, sec, cosec. Тут a, b, c - это длины сторон.

Если вместо двух (+1) и (-1) взять три A, B, E, (A+B+E=0), вместо трех сторон треугольника взять четыре грани пирамидки (площади S, S1, S2, S3). Дальше перебрать все возможные тройные комбинации S*S1^A*S2^B, S*S2^A*S1^B, S^A+B*S1^A+E*S2^B+E ... Будет ли это тригонометрия на основе соотношений Трех? Тогда тройственные отношения будут характеризовать трехгранный угол.

[В.Ленский]

Хорошо и грамотно. С этого и начнём. Круто, конечно, будет. Но помочь готов.
Итак, ты будешь поставлен перед дилеммой: или последовательная цепочка отношений, или ЕДИНОВРЕМЕННОЕ отношение не двух, а ТРЁХ.
Посмотри на современную тригонометрию и геометрию. Если даже берутся определить параметры фигуры объёма (например, пирамиды), то проводят всё же последовательный переход по ДВУМ отношениям ЦЕПОЧКОЙ переходов (и доказательств).
Поэтому все построения, и в том числе ПРОИЗВОДНЫЕ, имеют отношения ДВУХ.
В разделе МАТЕМАТИКА (группы и деление) я привёл пример отношения трёх (и пр,) и нарисовал это треугольником. Там нет цепочки двухзначных отношений.
Теперь, когда ты берёшь объём (пирамиду), то, что такое ОТНОШЕНИЕ ТРЁХ? Это значит, что новая тригонометрическая функция не есть отношение "катета к гипотенузе". То же самое произойдёт и далее (исчисления, функции).
Пару слов о прикладном назначении такой математики. Пример. Если взять четыре соленоида в системе (общая "земля"), то никак не получится "постановка в соответствие двум элементам третьего". Иными словами, при замерах прибором будет АВСД = 0, но АВ = СД, ВС = АД, АД = ВС. В векторном смысле не будет ПРОЕКЦИИ в привычном смысле слова. Следовательно, существующая математика (скалярных, векторных) построений НЕ ПРИЕМЛЕМА (не адекватная).
Вот почему я сразу же предупреждаю о том, что приверженность к существующим понятиям приведёт или к неадекватности или к очередным выдумкам, мусору и нагромождениям (которых теперь в математике неисчислимо)

[AlexandrK]

Возьмем такую пирамидку. (Рисунок почемуто видно только если войти). Один угол у нее прямой. Черная грань - аналог гипотинузы треугольника.
Возьмем трехполярную алгебру i*i=j, j*j=i, i*j=e, i+j+e=0.

Тройственные косинусы
У угла О есть три прилегающих грани с площадями R, G, S.
1. Для степеней i, j, e получим шесть тройных комбинаций:
cos_i,j,e(O) = Rⁱ * G^j * S^e
cos_j,i,e(O) = R^j * Gⁱ * S^e
...
Это тройные аналоги косинуса и секанса, только тут произведение трех функций дает 1.

2. Есть еще вариант степеней i+e, j+e, i+j. Получим тоже шесть тройных комбинаций:
cos_i+e,j+e,i+j(O) = R^i+e * G^j+e * S^i+j
cos_j+e,i+e,i+j(O) = R^j+e * G^i+e * S^i+j
...
Это вроде тоже тройные аналоги косинуса и секанса, тут тоже только три функции в произведении дают 1.

Беря оба набора можно найти пары функций дающих в произведении 1. Это наиболее соответствует двойственным косинусу и секансу. Например пара:
cos_i,j,e(O) * cos_j+e,i+e,i+j(O) = 1

Также введем косинусы для углов U и W. Итак всего различных косинусов будет 36 штук.
В обычном (двухполярном) варианте для треугольника имеем cos(alpha) и sin(alpha). Но sin(alpha) это просто cos(betta), где alpha и betta - два острых угла треугольника. В нашем же случае будет три функции cos, sin, tin так что cos(O)=sin(U)=tin(W).

Тройственные котангенсы
Для угла O котангенсы будут сформированы тремя гранями R, G, B.
1. Для степеней i, j, e получим шесть тройных комбинаций:
ctg_i,j,e(O) = Rⁱ * G^j * B^e
ctg_j,i,e(O) = R^j * Gⁱ * B^e
...
2. Для степеней i+e, j+e, i+j. Получим тоже шесть тройных комбинаций:
ctg_i+e,j+e,i+j(O) = R^i+e * G^j+e * B^i+j
ctg_j+e,i+e,i+j(O) = R^j+e * G^i+e * B^i+j
...

Всего котангенсов для всех углов будет 12. (Не 36 так как от угла к углу набор граней не меняется).

Итого всех тригонометрических функций будет 36+12 = 48.

Связь косинусов и котангенсов
Найдем наше первое соотношение  . Для обычной математики мы имеем ctg(alpha) = cos(alpha) / sin(alpha) = cos(alpha) / cos(betta) = cos(alpha)⁺¹ * cos(betta)^-1.
Возьмем косинусы для углов:
cos_i,j,e(O) = Rⁱ * G^j * S
cos_i,j,e(U) = Gⁱ * B^j * S
cos_i,j,e(W) = Bⁱ * R^j * S
(Условимся для косинусов грани в наших тройственных произведениях перечислять против часовой стрелки, поворачиваясь внутри пирамидки, смотря из нужного угла в пирамидку)
Посмотрим на котангенс
ctg_i,j,e(W) = Bⁱ * R^j * G^e
(Условимся для котангенсов грани перечислять также против часовой стрелки но противоположную грань брать всегда последней)
Посчитаем следующее произведение:
cos_i,j,e(O)ⁱ * cos_i,j,e(U)^j * cos_i,j,e(W)^e = R^2j * G^2e * B²ⁱ = ctg_i,j,e(W)²
Таким образом в краткой форме (индексы одинаковы) получаем:
cos(O)ⁱ * cos(U)^j * cos(W) = ctg(W)²

[AlexandrK]

Кстати, а зачем задавать, что R, G, B, S это площади граней? Получается что для тригонометрических соотношений это не важно. То что это площади нигде не используется пока что.

[batyr]

Один угол у нее прямой. Черная грань - аналог гипотинузы треугольника.
Возьмем трехполярную алгебру i*i=j, j*j=i, i*j=e, i+j+e=0.
Тройственные косинусы... 

Косинусы - это прилежащий катет на гипотенузу. Так, как тут два прилегающих грани и одна противоположная грань,
какое Вы дадите определение тройственному синусу? Пожалуйста, поподробнее. Какой соs_ije(O)=sin??? = tin???

[AlexandrK]

Косинусы - это прилежащий катет на гипотенузу. Так, как тут два прилегающих грани и одна противоположная грань,
какое Вы дадите определение тройственному синусу? Пожалуйста, поподробнее. Какой соs_ije(O)=sin??? = tin???

Для треугольника с катетами a, b и гипотенузой c возможны шесть комбинаций: a/b - котангенс альфа, b/a - котангенс бетта, a/c - косинус альфа, b/c - косинус бетта, c/a - секанс альфа, c/b - секанс бетта. Тоесть для всех возможных соотношений достаточно названий косинус и котангенс. Синус альфа это тоже соотношение что и косинус бетта. Дополнительных названий будет столько же сколько углов.
В случае с пирамидкой для одного и того же соотношения cos_i,j,e(O) = Rⁱ * G^j * S мы можем ввести еще два названия sin и tin (по одному на каждый угол). Тоесть по определению tin и sin tin(W)=sin(U)=cos(O). Для других углов cos(U)=sin(W)=tin(O), cos(W)=sin(O)=tin(U)

[batyr]

cos_i,j,e(O) = Rⁱ * G^j * S^e = sin _i,j,e(U) = tin _i,j,e(W) понятно!

cos_i+j,j+i,e+j(O) = R^i+j * G^j+i * S^e+j = Rⁱ * G^j * S^e*   R^j * Gⁱ * S^j=cos_i,j,e(O) * cos_j,i,j(O)
 
cos_i+j,j+i,e+j(O) * cos _e,e,i(O) = 1 = cos_i,j,e(O) * cos_j,i,j(O) * cos _e,e,i(O)  - я правильно понимаю Вас?

[batyr]

еще
cos_i,i,i(O)*cos_j,j,j(O)*cos_e,e,e(O) = 1
[cos_i,i,i(O)]^j=cos_e,e,e(O)

[batyr]

в обычной математике степени х есть обратная 1/х
в "тройке" это будет как? есть полряности i,j,e
допустим Xⁱ=B, здесь , i полярность.
будь обычная математика, написали бы так X^a=B => X=B^(1/a)
a тут i->j, a j->i по моему переходить должны(i в отражении себя видит j)
вот е никак не отразится, кроме как на себя e->e
Xⁱ=B => X=B^j проверка :
возводим с обоих сторон на i
Xⁱ = B^ij а ij=e. 
неплохо бы обозначить все правила переноса за знак "="

[В.Ленский]

Хвалю редко. Мельком заглянул.....для начала не плохо.
Прозвучала у AlexandrK давно мной ожидаемая фраза: "Кстати, а зачем задавать, что R, G, B, S это площади граней? Получается что для тригонометрических соотношений это не важно. То что это площади нигде не используется пока что". Вот это то, что нужно сначала осознать.
Отношение НЕ ЗАВИСИТ ОТ КОЛИЧЕСТВ. Функции угла есть КАЧЕСТВА. Какой бы ни был по размерам треугольник или угол, но sin, cos и пр. есть постоянное отношение.
Из этого последуют огромные выводы, вплоть до производных и интегралов. Переход тригонометрических функций зависит только от угла, освобождаясь от величин сторон!!!
Если будет время, то подумайте об отношении в определении производной. Намекну, что 0 - единица в СЛОЖЕНИИ.

[AlexandrK]

Вот пока что еще одно интересное наблюдение.

3. Взяв функции угла (из обычной тригонометрии) как полярности запишем их соотношения:

cos * sec = cosec * sin = tg * ctg = 1
cos * cosec * tg = 1
sec * sin * ctg = 1

cos * cosec = ctg
cos * tg = sin
cosec * tg = sec

sin * sec = tg
sin * ctg = cos
sec * ctg = cosec

что есть один в один соотношения цветов света!!!

Как этим можно воспользоваться?
Получается, если вектор брать как натуральный объект то проэкция вектора на ось это его поляризация. Так чтоли?