Ряды

[AlexandrK]

На сайте в разделе рядов пишется

Стоит ли тогда говорить специально о рядах?
Стоит. Однако ровно настолько, насколько можно установить межлокальные переходы и соотношения различных локализованных пространств.
Работы исследователей рядов (Тейлора, Маклорена, Эйлера, Лорана, Фурье и пр.) лягут в основу понимания межлокальных соотношений с позиций современного знания.

Попишу на эту тему :-)

Посмотрим на две формулы: f(x)=1+2*x+3*x*x и g(x)=2*x*x-5*x+1. В чем их отличие? Первая не намекает ни на какую локу, в то время как во второй уже постулированы некоторые полярности (по сложению). Таким образом выделяется "чистая" функция и "локализованная" функция. Имея "чистую" функцию можно ее локализовать, задав локу из которой берется аргумент x. Также видится возможность перевести функцию из локализованного состояния в "чистую" а затем в другую локу. Например, по g(x) можно подумать, что она из привычной локи, где (-)*(-)=(+). Ей будет соответствовать "чистая" функция g0(x)=2*x*x+5*x+1. Далее ее можно локализовать в пространство комплексных чисел, взяв аргументом i x:  g0(i x) = -2*x*x+i*5*x+1 = G(x).
Теперь и визуализировать g0(x) можно по разному
1) Нарисовать график функции g(x) в декартовых координатах (x,g) и получить параболу.
2) Нарисовать G(t) как параметрическую кривую на плоскости, взяв x(t)=-2*t*t+1, y(t)=5*t
И это будет в своей сути одна и та же функция g0.

Теперь если взять ряд для Exp(x). Если x брать неполяризованным, то получится кривая неограниченно уходящая в бесконечность. Если x взять как i x то получим на графике окружность. Аналогично, sin(x) может превратится в sh(x).

Теперь стратегия видется такая: Разложение Тейлора позволяет разложить функцию s(x) в сумму по степеням x. При каждом x^n будет стоять количество и полярность ((+) или (-)). Можно (наверное не всегда) взять только количества при степенях и получить "чистую" функцию. Затем перевести ее в другую локу.
Таким образом, например, можно попробовать делать перевод двухполярных сигналов (из обычного микрофона) в другие локи.

[В.Ленский]

Не совсем так. "Чистых" функций и чисел не бывает. Тем более, функций, где х может принадлежать любому пространству.
Если мы оговорим, что имеем дело с "абсолютными числами" |х|, то и это их не лишает полярности; они будут однополярные.
А вот переход функций будет зависеть от переполяризации числа. Однако и здесь, пространство задаётся определённое. Смена полярности на ту, которая принадлежит другому пространству (как было сделано с ix) есть "насильственный" подвох, ведь, числа (например, jx) нет в комплексных числах, а есть в кватернионах, но это уже другое пространство. Поэтому, когда я задам - 5х, то этим уже задал пространство (чётное), дальше останется его уточнить: это лока2, 4, 8, 16? Но если я ставлю вместо (-) некоторое j, то к х - числу это не относится. Кстати, на этом "сорвались" математики: они не заметили, что операции с числами и с полярностями проходят параллельно и независимо друг от друга. Числа всегда принадлежат арифметике, а полярности - пространству.
Число - тот послушный объект, который будет служить тому пространству, которое задаст ему полярность.

[В.Ленский]

Теперь относительно степенных рядов, например, Exp(x).
С учётом того, что "чистых" чисел не бывает, так как они всегда арифметические и всегда "чистые", вопрос ставится о пространстве, в котором представлен ряд.
Не узрев того, что полярности идут независимо от чисел, математики, как само собой, не заметили и подтасовку когда некоторому х задали "игру" в четырёхполярном пространстве (комплексные числа). Но упорно связывали полярность с числом (мы им прощаем!). Это крепко затуманило математические очи. Полярность начала "вращаться". Соответственно число, как слуга, последовало за своим господином (полярностью). Просто?
От этой простоты истекает и пространственное представление.
Не нужно труда, чтобы, при линейном наращивании чисел, в четырёхполярном вращении увидеть восходящую спираль. В двухполярности это будет парабола, так как "вращение" будет перескоком на 180 гр.  и т.п.
 Числа можно закрутить в сферу, кольца, тор, но это к числам не относится, а определится конфигурацией полярностей в пространстве в их переходе (алгебре).

[В.Ленский]

Теперь об отношениях.
Например, sin или cos, как отношение двух чисел, взяты в тригонометрии так, что пространственное "кувыркание" прошло как само собой разумеющееся. Благо Декарт ввёл некоторую поляризацию. Но, увы, не заметили. Однако "кувыркают" отношение не числа, а полярности.
Итак, отношение чисел не в счёт - это дело арифметики. А вот отношение полярностей, будет ли это -, i, j, k... , принадлежат чёткому пространству.
Поэтому в понятиях "синус" и "гиперболический синус" нужно провести ревизию и освободить отношения полярностей от недомыслия математиков.

Итак, отношения чисел сами по себе и относятся к арифметике. Количества пространства не формируют.
Отношения качеств (полярностей) определяют "лицо" чисел. Они и есть дух и суть пространства.
Отношение полярностей создают такие пространства, когда появляется сложная конфигурация фантастических свойств. Например "вывернутое" наизнанку пространство. Это как поменять местами Небо и Землю.
Вспомним многополярные группы (см. Математика).
Они бывают "прямого" вида, то есть пространства. Они бывают обратного вида.
Например, если взять трёхполярную группу Δ с полярностями по "сторонам" А, В, С и обратную группу ▼ со "сторонами" а, в, с, то эти две группы образуют единое пространство, но так, что сами группы обратны друг другу.